Question

4．F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF₂是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義，可得F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F(xiàn)₁F₂=2c，再在△F₁BF₂中應(yīng)用余弦定理得，a，c的關(guān)系，由離心率公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：因?yàn)椤鰽BF₂為等邊三角形，不妨設(shè)AB=BF₂=AF₂=m，
A為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，
B為雙曲線上一點(diǎn)，則BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F(xiàn)₁F₂=2c，
由∠ABF₂=60°，則∠F₁BF₂=120°，
在△F₁BF₂中應(yīng)用余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，則e²=7，解得e=$\sqrt{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．