Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥PE；
（2）求二面角A-PB-E的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)PD，由已知得PD⊥AB，BC⊥AB，DE⊥AB，由此能證明AB⊥PE．
（2）由已知得PD⊥AB，PD⊥平面ABC，DE⊥PD，ED⊥AB，從而DE⊥平面PAB，過(guò)D做DF垂直PB與F，連接EF，則EF⊥PB，∠DFE為所求二面角的平面角，由此能求出二面角的A-PB-E大小．

解答： （1）證明：連結(jié)PD，∵PA=PB，∴PD⊥AB．
∵DE∥BC，BC⊥AB，DE⊥AB．
又∵PD∩DE=E，∴AB⊥平面PDE，
∵PE?平面PDE，∴AB⊥PE．
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC．
則DE⊥PD，又ED⊥AB，PD∩平面AB=D，
DE⊥平面PAB，
過(guò)D做DF垂直PB與F，連接EF，則EF⊥PB，
∴∠DFE為所求二面角的平面角
∴DE=

3

2

，DF=

3

2

，則tan∠DFE=

DE

DF

=

3

，
故二面角的A-PB-E大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．