Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，其上頂點為A．已知△F₁AF₂是邊長為2的正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記

MQ

=λ•

QN

，若在線段MN上取一點R使得

MR

=-λ•

RN

，試判斷當(dāng)直線l運動時，點R是否在某一定直線上運動？若在請求出該定直線，若不在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得c=1，a=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意知直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=k（x+4），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，由此利用向量知識、韋達定理，結(jié)合已知條件能求出點R在定直線x=-1上．

解答： （本小題滿分10分）
解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，其上頂點為A，
△F₁AF₂是邊長為2的正三角形，
∴c=1，a=2，…（1分）
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（2）由題意知直線MN的余率必存在，設(shè)其直線方程為y=k（x+4），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，
消去y，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
∴△=144（1-4k²）＞0，x1+x2=

-32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
由

MQ

=λ•

QN

，得-4-x₁=λ（x₂+4），
解得λ=-

x1+4

x2+4

，
設(shè)點R的坐標為（x₀，y₀），則由

MR

=-λ•

RN

，
得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

，
又2x1x2+4(x1+x2)=2×

64k2-12

3+4k2

+4×

-32k2

3+4k2

=

-24

3+4k2

，
（x₁+x₂）+8=

-32k2

3+4k2

+8=

24

3+4k2

，
從而x0=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

=-1，
故點R在定直線x=-1上．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點是否在在定直線上的判斷與求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．