Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）（p＞1），請求出它的最值．

Answer 1

分析 運用對數(shù)的運算性質，可得f（x）=log₂（x-1）（p-x），再由基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調性可得最大值，無最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）（p＞1）
=log₂（x-1）+log₂（p-x）（1＜x＜p），
=log₂（x-1）（p-x），
由（x-1）＞0，（p-x）＞0，可得
（x-1）（p-x）≤（$\frac{x-1+p-x}{2}$）²=$\frac{（p-1）^{2}}{4}$，
當且僅當x-1=p-x，即為x=$\frac{p+1}{2}$時，取得最大值．
則f（x）的最大值為log₂$\frac{（p-1）^{2}}{4}$=2log₂（p-1）-2，無最小值．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調性，屬于中檔題．