Question

設函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，則函數(shù)f（x）的各極大值之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出其導函數(shù)，利用導函數(shù)得到其單調(diào)區(qū)間以及其極大值點，進而求出其極大值；再利用等比數(shù)列的求和公式求出函數(shù)f（x）的各極大值之和即可．
解答：解：因為函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以：f'（x）=[e^x（sinx-cosx）]'=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx．
f'（x）=0⇒x=kπ，
當2kπ≤x≤2kπ+π時，f'（x）＞0，原函數(shù)遞增
當2kπ+π＜x≤2kπ+2π時，f'（x）＜0，原函數(shù)遞減．
∴x=2kπ+π時，函數(shù)f（x）取極大值此時f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又∵0≤x≤2011π
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π==．
故答案為：．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列求和公式的應用．在求函數(shù)的極大值時，須注意極大值兩側(cè)導函數(shù)值是先正后負，原函數(shù)是先增后減．