Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

1

2

，A、B分別為橢圓的長軸和短軸的一個端點，|AB|=2

7

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點E（0，1），問是否存在直線l與橢圓交于P、Q兩點且|

PE

|=|

QE

|，若存在，求出直線的斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可得

c

a

=

1

2

，

a2+b2

=2

7

，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可；
（2）假設(shè)存在直線l與橢圓交于P、Q兩點且|

PE

|=|

QE

|，設(shè)直線l：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點M（x₀，y₀）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，得到△＞0，12+16k²＜m²．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得m=-3-4k²，代入△解出即可．

解答： 解：（1）由題意可得

c

a

=

1

2

，

a2+b2

=2

7

，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=4，c=2，b²=12．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假設(shè)存在直線l與橢圓交于P、Q兩點且|

PE

|=|

QE

|，
設(shè)直線l：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）＞0，
化為12+16k²＜m²．
∴x₁+x₂=

-8km

3+4k2

=2x₀，解得x0=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
∴

y0-1

x0

=

3m-3-4k2

-4km

=-

1

k

，
化為m=-3-4k²，
∴12+16k²＜（3+4k²）²，
化為16k⁴+8k²-3＞0，解得k2＞

1

4

，
∴k＞

1

2

或k＜-

1

2

．
因此存在直線l與橢圓交于P、Q兩點且|

PE

|=|

QE

|．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．