Question

已知F₁，F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，直線x=-

a2

c

與x軸相交于點N，并且滿足

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，設A，B是上半橢圓上滿足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍；
（2）過A，B兩點分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點P，求證：點P在一條定直線上，并求點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，從而得到橢圓方程為

x2

2

+y2=1．設直線方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線AB的斜率的取值范圍．
（2）證明：上半橢圓的方程為y=

1- 1 2 x2

，且切線PA的方程為y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，切線PB的方程為y=-

x2x

2y2

+

1

y2

，由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，解得點P的坐標（x₀，y₀）滿足

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

，由此能證明點P在定直線x=-1上，并且點P的縱坐標的取值范圍．

解答： （1）解：∵

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
∵A，B是上半橢圓上滿足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]，
∴A、B、N三點共線，∵N（-2，0），∴設直線方程為y=k（x+2），k≠0，
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，消去x，得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，
由△=(

4

k

)2-8•

2k2+1

k2

＞0，解得0＜k＜

2

2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理，得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，①
又由λ_NA=λ_NB，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂，②
將②式代入①式，得：

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λy22= 2k2  2k2+1

，
消去y₂得：

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

，
設g（λ）=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，
當λ∈[

1

5

，

1

3

]時，g（λ）是減函數，
∴

16

3

≤g(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得

1

18

≤k2≤

1

4

，又由0＜k＜

2

2

，得

2

6

≤k≤

1

2

，
∴直線AB的斜率有取值范圍是[

2

6

，

1

2

]．
（2）證明：上半橢圓的方程為y=

1- 1 2 x2

，
且y₁=

1- 1 2 x12

，y2=

1- 1 2 x22

，
求導可得y′=

-x

2 1- 1 2 x2

，
所以兩條切線的斜率分別為kPA=-

x1

2 1- 1 2 x12

，kPB=-

x2

2 1- 1 2 x22

=-

x2

2y2

，
切線PA的方程是y-y₁=-

x1

2y1

（x-x₁），
即y=-

x1x

2y1

+

x12+2y12

2y1

，
又x12+2y12=2，
從而切線PA的方程為y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，
同理可得切線PB的方程為y=-

x2x

2y2

+

1

y2

，
由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，解得點P的坐標（x₀，y₀）滿足

x0=- 2(y2-y1) x2y1-x1y2 y0=- x2-x1 x2y1-x1y2

，
再由

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

，得

x1+2

y1

=

x2+2

y2

，∴x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁），

x1+2

y1

=

x2+2

y2

，∴x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁），
∴

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

，
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

，2≤

1

kAB

≤3

2

，
∴1≤y0≤

3 2

2

，
因此點P在定直線x=-1上，并且點P的縱坐標的取值范圍是[1，

3 2

2

]．

點評：本題考查橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍的求法，考查點P在一條定直線上的證明，并求點P的縱坐標的取值范圍，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．