Question

16．已知P、M、N是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|，則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意知點(diǎn)P在MN的垂直平分線上，不妨設(shè)單位圓的圓心為O（0，0），
點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)M（x₁，y₁），點(diǎn)N（-x₁，y₁），表示出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$并求最小值即可．

解答 解：由題意可得，點(diǎn)P在MN的垂直平分線上，
不妨設(shè)單位圓的圓心為O（0，0），如圖所示；
點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)M（x₁，y₁），則點(diǎn)N（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1，
∴$\overrightarrow{PM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{PN}$=（-x₁，y₁-1），
${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=1．
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=-${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-2y₁+1=2${{y}_{1}}^{2}$-2y₁=2${{（y}_{1}-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)y₁=$\frac{1}{2}$時(shí)$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是-$\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩個(gè)向量的數(shù)量積與二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．