Question

15．設(shè)某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù)，已知T（t）=t³+at²+bt+c，其中溫度的單位是℃，時間的單位是小時，規(guī)定中午12：00相應(yīng)的t=0，中午12：00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12：00以前相應(yīng)的t取負數(shù)（例如早上8：00對應(yīng)的t=-4，下午16：00相應(yīng)的t=4），若測得該物體在中午12：00的溫度為60℃，在下午13：00的溫度為58℃，且已知該物體的溫度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率．
（1）求該物體的溫度T關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時溫度最高？最高溫度是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意可得當t=0時，T（t）=60； 當t=1時，T（t）=58；T′（-4）=T′（4），由此求得待定系數(shù)a、b、c的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得，T′（t）=3t²+2at+b，當t=0時，T（t）=60；
當t=1時，T（t）=58；T′（-4）=T′（4），
故有c=60，1+a+b+c=58，3•（-4）²+2a•（-4）+b=3•4²+2a•4+b，
解得a=0，b=-3，c=0，∴T（t）=t³ -3t+60，（-12≤t≤12）．
（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點），即-2≤t≤2，T′（t）=3t²-3，
故當t∈[-2，-1）、（1，2]時，T′（t）=3t²-3＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；故當t∈[-1，1]時，T′（t）=3t²-3≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，
故當t=-1時，函數(shù)取得極大值為T（-1）=64，而區(qū)間[-2，2]的端點值T（-2）=58，T（2）=62，
故函數(shù)T（t）=t³+at²+bt+c在區(qū)間[-2，2]上的最大值為64，
故上午11點溫度最高為64°．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．