Question

已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₄=11，在等比數(shù)列{b_n}中，b₁=

a3

2

，b₄=a₁₁，
（Ⅰ）求等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（Ⅱ）求證數(shù)列{b_n+1}不可能是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，利用a₁=2，a₄=11，求解公差，利用b₁=

a3

2

，b₄=a₁₁，求解公比，然后求等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，然后求出{b_n+1}的前3項(xiàng)，判斷數(shù)列不可能是等比數(shù)列即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則
∵a₁=2，a₄=11，
∴d=

a4-a1

4-1

=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∴b₁=

a3

2

=4，b₄=32
∴q³=8即q=2
∴b_n=b₁q^n-1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹（6分）
（Ⅱ）若{b_n+1}是等比數(shù)列，則b₁+1，b₂+1，b₃+1是等比數(shù)列，
由（Ⅰ）可得b₁=4，b₂=8，b₃=16，
顯然{b_n+1}的前3項(xiàng)依次為5，9，17，
由于5×17=85，9²=81
∴b₁+1，b₂+1，b₃+1不是等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n+1}不可能是等比數(shù)列．（13分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．