Question

已知對于任意實數(shù)x，二次函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的，求函數(shù)g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的，判別式小于等于0求得a的范圍，進(jìn)而根據(jù)a的范圍確定函數(shù)g（a）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答：解：依題意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-

3

2

≤a≤2
當(dāng)1≤a≤2時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）²，單調(diào)增
∴g（a）∈[4，9]
當(dāng)-

3

2

≤a＜1時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）²+4，函數(shù)單調(diào)增
∴g（a）∈[-

9

4

，4）
綜合得函數(shù)g（a）的值域為[-

9

4

，9]

點評：本題主要考查了函數(shù)的值域問題．解題的關(guān)鍵是求得函數(shù)的解析式和在定義域上的單調(diào)性．