Question

已知對于任意實數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），若方程f（x）=0有且僅有2009個實數(shù)解，則這2009個實數(shù)解之和為

2009

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得到函數(shù)的圖象關于x=1對稱，得到函數(shù)的零點關于x=1對稱，即方程f（x）=0的根關于x=1對稱，得到方程f（x）=0的2009個實數(shù)解中有2008個成對，一個就是x=1，成對的兩個根之和等于2，得到所有根的和．

解答：解：∵對于任意實數(shù)x，函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），
∴函數(shù)的圖象關于x=1對稱，
∴函數(shù)的零點關于x=1對稱，
∴方程f（x）=0的根關于x=1對稱，
∴方程f（x）=0的2009個實數(shù)解中有2008個成對，一個就是x=1，
∴成對的兩個根之和等于2，
∴所有的根的和是2×1004+1=2009
故答案為：2009

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，考查關于直線對稱的圖形的特點，本題解題的關鍵是看出函數(shù)的圖象關于直線x=1對稱，得到函數(shù)的零點是成對出現(xiàn)的，本題是一個基礎題．