Question

已知圓C：x²+（y-2）²=4，M（x₀，y₀）為拋物線x²=4y上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若x₀=4，求過點(diǎn)M的圓的切線方程；
（2）若x₀＞4，求過點(diǎn)M的圓的兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的切線方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)切線方程為y-4=k（x-4），利用圓心到切線的距離等于半徑，求出k．然后求出切線方程．
（Ⅱ）設(shè)切線y-y₀=k（x-x₀），利用切線與x軸交點(diǎn)為(x0-

y0

k

，0)，圓心到切線的距離列出關(guān)系式，推出k的二次方程，設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，通過韋達(dá)定理得到

k1+k2=- 2x0(2-y0) x 2 0 -4 k1k2= y 2 0 -4y0 x 2 0 -4

，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）x₀=4，y₀=4．
當(dāng)點(diǎn)M（4，4）時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0．
圓心到切線的距離為d=

|2-4k|

k2+1

=2，即|2-4k|=2

k2+1

．
所以3k²-4k=0，得k=0或k=

4

3

．
所以切線方程為y=4或4x-3y-4=0．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)切線y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，
切線與x軸交點(diǎn)為(x0-

y0

k

，0)，圓心到切線的距離為d=

|-2+y0-kx0|

k2+1

=2．
即4+

y

2 0

+k2

x

2 0

-4y0+4kx0-2x0y0k=0，
化簡得(

x

2 0

-4)k2+2x0(2-y0)k+

y

2 0

-4y0=0
設(shè)兩切線斜率分別為k₁，k₂，則

k1+k2=- 2x0(2-y0) x 2 0 -4 k1k2= y 2 0 -4y0 x 2 0 -4

，S=

1

2

|(x0-

y0

k1

)-(x0-

y0

k2

)|•y0=

1

2

|k1-k2|

|k1k2|

•y02=

2y0 x 2 0 + y 2 0 -4y0

y0-4

=

2y02

y0-4

=2[

16

y0-4

+(y0-4)+8]≥32，當(dāng)且僅當(dāng)y₀=8時(shí)取等號(hào)．
所以兩切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．