Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=8，S_n=na_n+n（n-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)W_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求W_n；
（3）設(shè)b_n=$\frac{1}{{n（12-{a_n}）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，（n∈N^*），是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立？若存在求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=8，S_n=na_n+n（n-1），將n換為n-1，相減，運(yùn)用等差數(shù)列的定義，求出公差，代入通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和即得結(jié)論；
（2）判斷哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，再分類(lèi)討論，即可求得W_n；
（3）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）a₁=8，S_n=na_n+n（n-1），
可得S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2），n＞1，
兩式相減可得，a_n=na_n-（n-1）a_n-1+2（n-1），
即為a_n-a_n-1=-2，
可得a_n=a₁+（n-1）d=8-2（n-1）=10-2n；
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，后面的項(xiàng)為負(fù)數(shù)．
∴n≤5時(shí)，W_n=S_n=n（9-n）；
n≥6時(shí)，W_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=n（n-9）+40=n²-9n+40，
∴W_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（9-n），n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$；
（3）b_n=$\frac{1}{{n（12-{a_n}）}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
∴n=1時(shí)，T_n取得最小值$\frac{1}{4}$，
∵對(duì)任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立，
∴$\frac{1}{4}$＞$\frac{m}{32}$，∴m＜8，
∴使得對(duì)任意n∈N^*均有T_n＞$\frac{m}{32}$成立的最大整數(shù)為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查恒成立問(wèn)題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求和是關(guān)鍵．