Question

已知一組數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，其中

.

x

是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．試證明s²=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2．

Answer 1

分析：將方差公式整理化簡即可．

解答：解：由于s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]
=

1

n

[x12+x22+…+xn2-2(x1+x2+…+xn)•

.

x

+n

.

x

2]
=

1

n

(x12+x22+…+xn2-2n

.

x

•

.

x

+n

.

x

2)
=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2
則s²=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2．

點評：本題考查方差的計算公式的運用．一般地設n個數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為

.

x

，則
方差S²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]=

1

n

[x₁²+x₂²+…+x_n²-n

.

x

²]，
它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．