Question

設(shè)f（x）=2x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，且在x=1處取得極小值-6．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-3，3]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+

a

6

)2-

a2

6

+b，由已知條件利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1），令f'（x）=0，得x=-2，x=1，列表討論，能求出函數(shù)f（x）在[-3，3]的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³+ax²+bx+c，
∴f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+

a

6

)2-

a2

6

+b
由題意知

- a 6 =- 1 2 f′(1)=6+2a+b=0 f(1)=2+a+b+c=-6

，解得

a=3 b=-12 c=1

，
經(jīng)檢驗(yàn)，得a=3，b=-12，c=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1，
f'（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）
令f'（x）=0，得x=-2，x=1
列表如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	10	增	極大值21	減	極小值-6	增	46

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值也是極小值-6，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最大值46．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．