Question

（2008•楊浦區(qū)二模）（理）已知向量

a

=(x2+1，-x)，

b

=(1，2

n2+1

) （n為正整數(shù)），函數(shù)f(x)=

a

• 

b

，設(shè)f（x）在（0，+∞）上取最小值時(shí)的自變量x取值為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}，對(duì)任意正整數(shù)n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求

lim

n→∞

Sn；
（3）在點(diǎn)列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在兩點(diǎn)A_i，A_j（i，j為正整數(shù)）使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，則求出所有的數(shù)對(duì)（i，j）；若不存在，請(qǐng)你寫出理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，代入得f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

是一個(gè)關(guān)于x二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上拋物線，在對(duì)稱軸處函數(shù)取到最小值，由二次函數(shù)對(duì)稱軸方程，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將an=

n2+1

代入b_n的表達(dá)式，得到bn=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]，用裂項(xiàng)的方法求出其前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式，最后可得其極限

lim

n→∞

Sn的值；
（3）對(duì)于這類問(wèn)題，我們可以先假設(shè)存在滿足條件的數(shù)對(duì)（i，j），然后再進(jìn)行推理可得結(jié)論．具體作法：任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設(shè)A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，則 kij=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1，從而得到不存在滿足條件的數(shù)對(duì)（i，j），得出結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）=(x2+1)-2x

n 2+1

…（2分）
函數(shù)y=f（x）的圖象是一條拋物線，拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=

n2+1

＞0，
開(kāi)口向上，在（0，+∞） 上，當(dāng)x=

n2+1

時(shí)函數(shù)取得最小值，
所以an=

n2+1

；…（4分）
（2）將（1）中{a_n}的表達(dá)式代入，得bn=

1

4(n2+1)-5

=

1

4n2-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1

]．…（6分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]，…（8分）
所以所求的極限為：

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

；…（10分）
（3）任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），設(shè)A_iA_j 所在直線的斜率為k_ij，
則 kij=

ai-aj

i-j

=

i2+1 - j2+1

i-j

=

i2-j2

(i-j)( i2+1 + j2+1)

=

i+j

i2+1 + j2+1

＜1．
因此不存在滿足條件的數(shù)對(duì)（i，j），使直線A_iA_j的斜率為1．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合了數(shù)列與向量、數(shù)列與函數(shù)以及數(shù)列的極限等知識(shí)點(diǎn)，是一道難題．對(duì)思維的要求較高，考查了轉(zhuǎn)化化歸和函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想．