Question

6．設(shè)命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的圖象是雙曲線；命題q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，p∨q為真，￢p為真，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的圖象是雙曲線，可得（1-2m）（m+4）＜0，解得m范圍；命題q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，可得△＞0，解得m范圍．由于p∨q為真，￢p為真，可得p為假命題，q為真命題，即可得出．

解答 解：命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{1-2m}$+$\frac{{y}^{2}}{m+4}$=1表示的圖象是雙曲線，則（1-2m）（m+4）＜0，解得$m＞\frac{1}{2}$，或m＜-4；
命題q：?x∈R，3x²+2mx+（m+6）＜0，則△=4m²-12（m+6）＞0，解得m＞6，或m＜-3．
∵p∨q為真，￢p為真，
∴p為假命題，q為真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4≤m≤\frac{1}{2}}\\{m＜-3或m＞6}\end{array}\right.$，
解得-4≤m＜-3．
∴實數(shù)m的取值范圍是[-4，-3）．

點評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．