Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，若f（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，則f（$\frac{1}{2}$）的最大值為$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，則f′（x）=x²+ax+b≤0在x∈[-1，1]上恒成立．a(chǎn)-b≥1，且a+b≤-1，由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{16}$+$\frac{1}{8}$（a+4b），設(shè)a+4b=k（a-b）+l（a+b），求得k，l，即可得到所求最大值．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+bx+1，
所以f′（x）=x²+ax+b，
因?yàn)閒（x）在[-1，1]單調(diào)遞減，
所以f′（x）=x²+ax+b≤0在x∈[-1，1]上恒成立．
即1-a+b≤0，且1+a+b≤0，
即有a-b≥1，且a+b≤-1，
由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{16}$+$\frac{1}{8}$（a+4b），
設(shè)a+4b=k（a-b）+l（a+b），
即有k+l=1，l-k=4，
解得k=-$\frac{3}{2}$，l=$\frac{5}{2}$，
a+4b=-$\frac{3}{2}$（a-b）+$\frac{5}{2}$（a+b）≤-$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{2}$=-4，
則f（$\frac{1}{2}$）≤$\frac{17}{16}$-$\frac{1}{8}$×4=$\frac{9}{16}$．
故f（$\frac{1}{2}$）的最大值為$\frac{9}{16}$．
故答案為：$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了利用待定系數(shù)法求參數(shù)的范圍，考查了利用不等式的性質(zhì)求最值，屬于中檔題．