已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.
(1)過(guò)定點(diǎn)(1,0)且傾斜角為
4
的直線l與圓Q相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng);
(2)過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)(-1,-1)作圓Q的兩條互相垂直的弦CD、EF,求CD+EF的長(zhǎng)度最大值.
考點(diǎn):直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的一般方程,直線與圓的位置關(guān)系
專題:直線與圓
分析:(1)求出直線方程,根據(jù)直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式即可求線段AB的長(zhǎng);
(2)由于直線CD、EF均過(guò)M點(diǎn),故可以考慮設(shè)兩個(gè)直線的方程為點(diǎn)斜式方程,但由于點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的情況,故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況,然后利用弦長(zhǎng)公式,及基本不等式進(jìn)行求解.
解答: 解:(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=9.得到圓心C(1,-2),半徑r=3.
過(guò)點(diǎn)(1,0)且傾斜角為
4
的直線l的斜率k=tan
4
=-1,
則對(duì)應(yīng)的方程為y=-(x-1),即x+y-1=0,
圓心到直線的距離d=
|1|
2
=
2
2
,
則線段AB=2
r2-d2
=2
9-
1
2
=
34

(2)∵坐標(biāo)點(diǎn)(-1,-1)在圓內(nèi),
∴當(dāng)CD的斜率為0或不存在時(shí),可求得CD+EF=4
2
+2
5

當(dāng)CD的斜率存在且不為0時(shí),
設(shè)直線CD的方程為y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0
直線EF的方程為y+1=-
1
k
(x+1),即x+ky+k+1=0,
圓心到CD的距離d=
|2k+1|
1+k2
,圓心到EF的距離d=
|k-2|
1+k2

由弦長(zhǎng)公式l=2
r2-d2

可得:CD=2
5k2-4k+8
1+k2

EF=2
8k2+4k+5
1+k2
,
∵CD2+EF2=4(
5k2-4k+8
1+k2
+
8k2+4k+5
1+k2
)=4×
13(k2+1)
1+k2
=52,
∴(CD+EF)2=CD2+EF2+2CD×EF≤2(CD2+EF2)=104
故CD+EF≤
104
=2
26

即AC+BD的最大值為2
26
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,直線方程的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式,考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,有一點(diǎn)的難度.
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下列函數(shù)中,最小正周期為 π的是( 。
A、y=cos 4x
B、y=sin 2x
C、y=sin
x
2
D、y=cos
x
4

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復(fù)數(shù) 
(1+
3
i)2
3
i-1
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3
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C、雙曲線D、圓或橢圓

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已知隨機(jī)變量ξ~(100,
1
2
),則當(dāng)P(ξ=k)取得最大值時(shí),k的值為( 。
A、49B、50
C、49或50D、50或51

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(1)求D、C之間的距離;
(2)求CD與面ABC所成的角的大;
(3)求證:對(duì)于AD上任意點(diǎn)H,CH不與面ABD垂直.

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A、12B、13C、14D、5

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