Question

7．已知等差數(shù)列{an}滿足已知等差數(shù)列{ a_n }滿足a₂=0，a₆+a₈=-10
（I）求數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n }的公差為d，頂點(diǎn)關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組解之；
（II）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n }的公差為d，由已知條件可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{2{a}_{1}+12d=-10}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n }的通項(xiàng)公式為a_n=2-n；    …（6分）
（II）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，即S_n=${a}_{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，S₁=a₁=1，
$\frac{{S}_{n}}{2}=\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{{a}_{2}}{4}+…+\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$…（8分）
所以，當(dāng)n＞1時(shí)，兩式相減得到$\frac{{S}_{n}}{2}={a}_{1}+\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{2}+…+\frac{{a}_{n}-{a}_{{a}_{n-1}}}{{2}^{n-1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$
=1-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=1-（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$  …（12分）
所以${S}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$                            …（13分）
綜上，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和為$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．    …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；經(jīng)常考查，注意掌握．