Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右兩焦點(diǎn)，以F₁為圓心的圓恰經(jīng)過雙曲線的中心，過F₂作⊙F₁的切線，切點(diǎn)為P，若點(diǎn)P恰在雙曲線一條漸近線上，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 4

Answer 1

分析 由題意，圓的半徑為c，∠PF₁F₂=60°，可得P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入y=-$\frac{a}$x可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=-$\frac{a}$•（-$\frac{c}{2}$），即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，圓的半徑為c，可得∠PF₁F₂=60°，
解三角形得P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），又此點(diǎn)在準(zhǔn)線上
所以代入y=-$\frac{a}$x可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=-$\frac{a}$•（-$\frac{c}{2}$），
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．