Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若${\;}{f（1）=\frac{3}{2}}$，求函數(shù)y=g（x）=a^2x+a^-2x-4mf（x）（m∈R）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）+f（x）=0恒成立，化簡整理，即可得到所求值；
（2）由f（1）的值，解得a=2，可得f（x）的解析式，由x的范圍，可得t=f（x）的范圍，再由g（x）化簡整理可得g（x）=t²-4mt+2，t∈[0，$\frac{3}{2}$]，求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x+（k+1）a^-x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=a^-x+（k+1）a^x+a^x+（k+!）a^-x
=（k+2）（a^x+a^-x）=0對于任意實(shí)數(shù)都成立．
∴k=-2；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
由${\;}{f（1）=\frac{3}{2}}$，可得a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，（負(fù)值舍去），
即有t=f（x）=2^x-2^-x，
由0≤x≤1，可得1≤2^x≤2，
由t在[0，1]遞增，可得t∈[0，$\frac{3}{2}$]，
由g（x）=a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）
=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2，
即有函數(shù)y=t²-4mt+2，t∈[0，$\frac{3}{2}$]，
當(dāng)對稱軸t=2m≥$\frac{3}{2}$，即m≥$\frac{3}{4}$時(shí)，區(qū)間[0，$\frac{3}{2}$]為減區(qū)間，
可得t=$\frac{3}{2}$，即x=1，最小值為$\frac{17}{4}$-6m；
當(dāng)0＜2m＜$\frac{3}{2}$，即0＜m＜$\frac{3}{4}$時(shí)，可得t=2m，
即x=log₂（m+$\sqrt{2}$）時(shí)，取得最小值2-4m²；
當(dāng)2m≤0即m≤0時(shí)，區(qū)間[0，$\frac{3}{2}$]為增區(qū)間，
可得t=0，即x=0，最小值為2．
綜上可得，m≤0時(shí)，g（x）的最小值為2；
0＜m＜$\frac{3}{4}$時(shí)，g（x）的最小值為2-4m²；
m≥$\frac{3}{4}$時(shí)，g（x）的最小值為$\frac{17}{4}$-6m．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查奇函數(shù)的定義的運(yùn)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查換元法，以及二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．