Question

數列{a_n}滿足a₁=1且．
（1）用數學歸納法證明：a_n≥2（n≥2）
（2）設，證明數列{b_n}的前n項和
（3）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：（n≥1）（其中無理數e=2.71828…）

Answer 1

證明：（1）①當n=2 時，a₂=2，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即a_k≥2，那么．
即當n=k+1時不等式成立．
根據①②可知：a_n≥2對 n≥2成立．…（4分）
（2）∵，∴
當n=1時，，
當n≥2時，a_n≥2，，
故
=1+…（9分）
（3）當n≥2時，由（1）的結論知：
∵ln（1+x）＜x，
∴，
∴（n≥2）
求和可得=
而a₂=2，∴，∴（n≥2），而
故對任意的正整數n，有．…（14分）
分析：（1）利用數學歸納法的證題步驟，關鍵驗證當n=k+1時不等式成立；
（2）對通項進行放縮，利用裂項法求和，即可證得結論；
（3）先證明n≥2時，，再累加，即可證得結論．
點評：本題考查數學歸納法，考查不等式的證明，考查放縮法、累加法，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．