Question

1．記不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{3x-2y+3≥0}\\{x-4y+1≤0}\end{array}\right.$，所表示的區(qū)域為D．
（1）求區(qū)域D的面積．
（2）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一動點，求z=$\frac{y-2}{x+4}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應的排名區(qū)域，分別求出對應三角形的定點坐標，利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
（2）利用可行域，通過表達式的幾何意義求解直線的斜率即可．

解答 解：（1）作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ 3x-2y+3≥0\\ x-4y+1≤0\end{array}\right.$對應的平面區(qū)域如圖所示，
由$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ 3x-2y+3=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$，即A（1，3）．
同理得B（-1，0），C（3，1）．D（4，0）．
∴區(qū)域D的面積：S_△ABC=$\frac{1}{2}DB•{y}_{A}$$-\frac{1}{2}$DB•y_C=$\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×5×1$=5．
（2）z=$\frac{y-2}{x+4}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點與（-4，2）連線的斜率．
向量的范圍為：${K}_{PB}≤\frac{y-2}{x+4}≤{K}_{PA}$，${K}_{PB}=\frac{0-2}{-1+4}$=$-\frac{2}{3}$，${K}_{PA}=\frac{3-2}{1+4}$=$\frac{1}{5}$．
z=$\frac{y-2}{x+4}$的取值范圍：$[-\frac{2}{3}，\frac{1}{5}]$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，以及三角形面積的計算，表達式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．