Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+m•2^x+1．
（1）若m=-

5

2

，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）設(shè)t=2^x，試將f（x）表示為t的函數(shù)g（t），并求當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)g（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若m=-

5

2

，由f（x）=0，即可求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵m=-

5

2

，則f（x）=4^x-

5

2

•2^x+1，
∴f(x)=0?2x=

1

2

或2?x=±1，
故f（x）的零點(diǎn)為-1，1
（2）∵t=2^x，∴g（t）=t²+mt+1，
則對(duì)稱軸為x=-

m

2

，
∵x∈[-1，1]，∴根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得：
g(t)min=

5+2m，m≤-4 1- m2 4 ，-4＜m＜-1 5+2m 4 ，m≥-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解以及一元二次函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵．