Question

設(shè)x、y、z∈R⁺且3^x=4^y=6^z
（1）求使2x=py的p的值 （2）求與（1）中所求P的差最小的整數(shù)
（3）求證：

1

z

-

1

x

=

1

2y

（4）比較3x、4y、6z的大�。�

Answer 1

分析：（1）可令3^x=4^y=6^z=k，利用指對(duì)數(shù)互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解答．
（2）判斷P的取值范圍，找出與它最接近的2個(gè)整數(shù)，計(jì)算P與這2個(gè)整數(shù)的差．
（3）計(jì)算等式的左邊和右邊的值相等，等式得到證明．
（4）這3個(gè)數(shù)都是正數(shù)，比較它們的倒數(shù)的大小，從而得到這3個(gè)數(shù)大小關(guān)系．

解答：解：（1）令3^x=4^y=6^z=k，則 x=log₃^k，y=log₄^k，z=log₆^k，∵2x=py，
∴2log₃^k=plog₄^k，∴P=

2 log k 3

log k 4

=2

lg4

lg3

=2log₃⁴．
（2）∵2log₃⁴=log₃¹⁶，2＜log₃¹⁶＜3，即 2＜p＜3，
∵P-2=

log

16 9 3

，3-P=

log

27 16 3

，

16

9

＞

27

16

，∴P-2＞3-P，
與P的差最小的整數(shù)是3．
（3）∵

1

z

-

1

x

=log_k⁶-log_k³=log_k²，

1

2y

=

1

2

•log_k⁴=log_k²，
∴

1

z

-

1

x

=

1

2y

．
（4）3x=3log₃^k，4y=4log₄^k、6z=6log₆^k，又x、y、z∈R⁺，∴k＞1，
∵

1

3x

-  

1

4y

=

1

3

log

3 k

-

1

4

log

4 k

=

log

6 9 8 k

＞0，∴3x＜4y，
同理可求，

1

4y

- 

1

6z

=

log

6 4 3 k

＞0，∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式得轉(zhuǎn)化，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．