Question

20．對任意實數(shù)a，b，函數(shù)F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|），如果函數(shù)f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，那么函數(shù)G（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于3．

Answer 1

分析 確定函數(shù)F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）的含義，表示出G（x）=F（f（x），g（x）），根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值．

解答 解：∵F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）=$\left\{\begin{array}{l}b，a≥b\\ a，a＜b\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，
∴G（x）=F（f（x），g（x））=$\left\{\begin{array}{l}x+1，-1≤x≤2\\-{x}^{2}+2x+3，x＜-1，或x＞2\end{array}\right.$．
∵當-1≤x≤2時，G（x）=x+1∈[0，3]，
當x＞2或x＜-1時，G（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4＜3，
綜上可得，函數(shù)G（x）的最大值為3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查了函數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的定義求出函數(shù)H（x）的解析式．