【題目】如圖在直三棱柱中, , 中點.

)求證: 平面

)若,且,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】試題分析

I連結,由題意可證得,從而得中點,所以,又由題意得得所以得。(也可通過面面垂直證線面垂直)II由題意可得兩兩垂直,建立空間直角坐標系,求得平面和平面的法向量分別為 ,由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值。

試題解析:

I證明連結,

平面平面, 平面,

,

中點,

中點,

,

,

法一:由平面, 平面,

,

①②,

所以平面

法二:由平面, 平面,

平面平面

又平面平面,

所以平面

II解:由,得,

由(I)知,又,得

,

兩兩垂直,以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

, ,

, ,

是平面的一個法向量,

,得,

,

為平面的一個法向量,

.

,得,

根據(jù)題意知二面角為銳二面角,

所以二面角的余弦值為

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