Question

如圖，四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，E，F(xiàn)，G，分別為AD，BC，A₁D₁的中點，A₁E⊥平面ABCD，DH⊥CG，H為垂直
（1）求證：A₁F∥平面CDG
（2）求證：CG⊥平面ADH．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接EF，則四邊形A₁GCF為平行四邊形，可得A₁F∥CG，又EF∥CD，且EF∩A₁F=F，CD∩CG=C，得平面A₁EF∥平面GDC，可證CD∥A₁F，從而可證A₁F∥平面CDG．
（2）先證AD⊥平面A₁EF，由A₁F?平面A₁EF，得AD⊥A₁F，由（1）知：A₁F∥CG，可得AD⊥CG，由DH⊥CG，DH∩AD=D，從而可證CG⊥平面ADH．

解答： 證明：（1）如圖，連接EF，則∵四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，E，F(xiàn)，G，分別為AD，BC，A₁D₁的中點，
∴A₁G

∥

.

ED=CF，即四邊形A₁GCF為平行四邊形．
∴A₁F∥CG，
又∵EF∥CD，且EF∩A₁F=F，CD∩CG=C，
∴平面A₁EF∥平面GDC，
∴CD∥A₁F，CD∩CG=C，
∴A₁F∥平面CDG．
（2）∵四棱柱ABCD=A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，A₁E⊥平面ABCD，E，F(xiàn)，G，分別為AD，BC，A₁D₁的中點，
∴AD⊥A₁E，EF⊥AD，AD∩A₁E=A，
∴AD⊥平面A₁EF，
∵A₁F?平面A₁EF，
∴AD⊥A₁F，
∵由（1）知：A₁F∥CG，
∴AD⊥CG，
∵DH⊥CG，DH∩AD=D，
∴CG⊥平面ADH．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力、推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．