已知函數(shù)f(x)=x2+3,g(x)=a(1-x),當(dāng)-2≤x≤2時,f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:將f(x)≥g(x)在x∈[-2,2]恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)≥0在x∈[-2,2]恒成立,即求[f(x)-g(x)]min≥0,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸分別在區(qū)間的左、中、右三種情況求出最小值,從而得出a的取值范圍.
解答:解:要使當(dāng)-2≤x≤2時,f(x)≥g(x)恒成立,即要f(x)-g(x)=x2+ax+3-a≥0對-2≤x≤2恒成立,
令φ(x)=x2+ax+3-a(-2≤x≤2),
當(dāng)-
a
2
≥2
,即a≤-4時,φ(2)≥0,得a≥-7,又a≤-4,∴-7≤a≤-4,
當(dāng)-
a
2
≤-2
,即a≥4時,φ(-2)≥0,得a≤
7
3
(舍去)
當(dāng)-2<-
a
2
<2
,即-4<a<4時,φ(-
a
2
)=3-a-
a2
4
≥0,得-6≤a≤2,∴-4<a≤2
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍為[-7,2].
點評:本題考查了函數(shù)恒成立問題,同時涉及了動態(tài)的二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值.對于恒成立問題的一般解題思路是轉(zhuǎn)化成求最值問題.本題屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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