Question

已知函數(shù)f（x）=

1+a•2x

2x+b

，（a≠0）是奇函數(shù)，并且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，求過點(diǎn)（1，3），建立方程組進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域．
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）法一：由題意得

f(1)=3 f(-1)=-3

，解得a=1，b=-1．經(jīng)檢驗f（x）為奇函數(shù)．
法二；因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），即

1+a?2-x

2-x+b

+

1+a?2x

2x+b

=0，整理得（ab+1）2^2x+2（a+b）2^x+ab+1=0，
所以

ab+1=0 a+b=0

，得

a=1 b=-1

 或

a=-1 b=1

，
又f（1）=3，所以

1+2a

2+b

=3，即2a-3b=5
所以a=1，b=-1．
（2）法一：f(x)=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

因為2^x＞0，所以2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，所以

2

2x-1

＜-2或

2

2x-1

＞0
所以f（x）＜-1或f（x）＞1
所以f（x）的值域（-∞，-1）∪（1，+∞）
法二：由f(x)=

1+2x

2x-1

得2x=

y+1

y-1

＞0，解得y＞1或y＜-1
所以f（x）的值域（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（3）因為函數(shù)的定義域為（0，+∞）∪（-∞，0），
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1+2x1

2x1-1

-

1+2x 2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
因為0＜x₁0，2x1＞1，2x2＞1，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
所以f（x）在（-∞，0）上也是遞減
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．