Question

15．已知F₁、F₂為雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{16}$-y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P_i（x_i，0）與P_i′（x_i′，0）（i=1，2，3，…，10）滿(mǎn)足$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{i}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{i}′}$=$\overrightarrow{0}$，且x_i＜-4，過(guò)P_i做x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的上半部分于Q_i點(diǎn)，過(guò)P_i′做x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的上半部分于Q_i′點(diǎn)，若|F₁Q₁|+|F₁Q₂|+…+|F₁Q₁₀|=m，則|F₁Q₁′|+|F₁Q₂′|+…+|F₁Q₁₀′|=80+m．

Answer 1

分析 求得雙曲線(xiàn)的a，b，c，離心率e，左準(zhǔn)線(xiàn)方程，由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，可得x_i′=-x_i，運(yùn)用雙曲線(xiàn)的第二定義，可得，|F₁Q_i|=ed_i=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（-$\frac{16}{\sqrt{17}}$-x_i）=-4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，同理可得，|F₁Q_i′|=4+$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i=4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，再由已知條件，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{16}$-y²=1的a=4，b=1，c=$\sqrt{17}$，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，左準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-$\frac{16}{\sqrt{17}}$，
由$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{i}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{i}′}$=$\overrightarrow{0}$，可得：
x_i+c+x_i′-c=0，即有x_i′=-x_i，
由雙曲線(xiàn)的第二定義可得，|F₁Q_i|=ed_i=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（-$\frac{16}{\sqrt{17}}$-x_i）
=-4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，
同理可得，|F₁Q_i′|=ed_i′=$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x_i′+$\frac{16}{\sqrt{17}}$）
=4+$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i=4-$\frac{\sqrt{17}}{4}$x_i，
由|F₁Q₁|+|F₁Q₂|+…+|F₁Q₁₀|=m，
可得-40-$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）=m，
即$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）=m+40，
則|F₁Q₁′|+|F₁Q₂′|+…+|F₁Q₁₀′|=40-$\frac{\sqrt{17}}{4}$（x₁+x₂+…+x₁₀）
=40+m+40=80+m．
故答案為：80+m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的第二定義的運(yùn)用，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．