Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，其前n項(xiàng)和為S_n，a₂²=S₃，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=a₁+a₅+a₉+…+a_4n-3，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知a₂²=S₃=3a₂，從而a₂=3，利用S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列可知（6-d）²=（3-d）[2（6+d）]，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知數(shù)列{a_4n-3}是首項(xiàng)為1、公差為8的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₂²=S₃=3a₂，即a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴${{S}_{2}}^{2}$=S₁S₄，即（6-d）²=（3-d）[2（6+d）]，
化簡得：d²=2d，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（2）由（1）可知，a_4n-3=2（4n-3）-1=8n-7，
∴數(shù)列{a_4n-3}是首項(xiàng)為1、公差為8的等差數(shù)列，
∴T_n=a₁+a₅+a₉+…+a_4n-3
=$\frac{n（1+8n-7）}{2}$
=n（4n-3）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．