Question

10．對于a＞0，b＞0，下列不等式中不正確的是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{ab}}{2}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$
• B． ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$
• C． ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²
• D． （$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$

Answer 1

分析 選項A取反例可得，選項BC由基本不等式可得，選項D作差法可得．

解答 解：選項A，取a=b=2，可得$\frac{\sqrt{ab}}{2}$=1，$\frac{1}{a}+\frac{1}$=1，不滿足$\frac{\sqrt{ab}}{2}$＜$\frac{1}{a}+\frac{1}$，故錯誤；
選項B，由基本不等式可得2ab≤a²+b²，變形可得ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，故正確；
選項C，由基本不等式可得$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，平方可得ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，故正確；
選項D，作差可得（$\frac{a+b}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab}{4}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{-{a}^{2}-^{2}+2ab}{4}$=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，故正確．
故選：A

點評 本題考查不等式比較大小，涉及基本不等式和作差法，屬基礎(chǔ)題．