Question

1．設(shè)f（x）=1og_ax，g（x）=1og_bx，其中正數(shù)a，b互不相等且滿足a（1-b²）+b（1-a²）=0和f（2）-g（2）=2．
（1）求a，b的值；
（2）記F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$），若函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇1，1og₂14]，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a+b）（1-ab）=0，從而ab=1，由此能求出a=2，b=$\frac{1}{2}$．
（2）由F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）=log₂$\sqrt{{x}^{2}-2}$+$lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-2}$=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2）$，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵f（x）=1og_ax，g（x）=1og_bx，其中正數(shù)a，b互不相等且滿足a（1-b²）+b（1-a²）=0，
∴a-ab²+b-a²b=（a+b）-ab（a+b）=（a+b）（1-ab）=0，
∴ab=1，
∵f（2）-g（2）=2，
∴$lo{g}_{a}2-lo{g}_{\frac{1}{a}}2$=log_a2+log_a2=2，
∴l(xiāng)og_a2=1，解得a=2，∴b=$\frac{1}{2}$．
（2）∵F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）=log₂$\sqrt{{x}^{2}-2}$+$lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-2}$=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2）$，
∴函數(shù)y=F（x）在區(qū)間（-∞，-$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇1，1og₂14]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（m）=lo{g}_{2}（{m}^{2}-2）=1}\\{F（n）=lo{g}_{2}（{n}^{2}-2）=lo{g}_{2}14}\end{array}\right.$，解得m=2，n=4．
或$\left\{\begin{array}{l}{F（m）=lo{g}_{2}（{m}^{2}-2）=lo{g}_{2}14}\\{F（n）=lo{g}_{2}（{n}^{2}-2）=1}\end{array}\right.$，解得m=-4，n=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．