Question

在如圖所示的幾何體中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M為AF的中點，BN⊥CE.

(1)求證：CF∥平面MBD；

(2)求證：CF⊥平面BDN.

 

Answer 1

（1）見解析 （2）見解析

【解析】證明：(1)連接AC交BD于點O，連接OM.

因為四邊形ABCD是正方形，所以O為AC的中點．

因為M為AF的中點，所以CF∥OM，

又OM?平面MBD，CF?平面MBD，所以CF∥平面MBD.

(2)因為正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，

所以AF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD.

又四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

因為AC∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，

因為CF?平面ACF，所以CF⊥BD.

因為AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE.

因為BN?平面BCE，所以AB⊥BN，易知EF∥AB，

所以EF⊥BN.

又EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF，

因為CF?平面CEF，所以BN⊥CF.

因為BD∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN.