Question

10．已知k∈R，直線l₁：x+ky=0過定點(diǎn)P，直線l₂：kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)Q，兩直線交于點(diǎn)M，則|MP|+|MQ|的最大值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 直線l₁：kx+y=0過定點(diǎn)P（0，0），由kx-y-2k+2=0化為k（x-2）+（2-y）=0，可得直線l₂：kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)Q（2，2）．可以判定兩條直線相互垂直．利用2（|MP|²+|MQ|²）≥（|MP|+|MQ|）²，即可得出．

解答 解：直線l₁：kx+y=0過定點(diǎn)P（0，0），
由kx-y-2k+2=0化為k（x-2）+（2-y）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
直線l₂：kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)Q（2，2）．
∴|PQ|²=2²+2²=8．
當(dāng)k≠0時(shí)，兩條直線的斜率滿足$-\frac{1}{k}$×k=-1，此時(shí)兩條直線相互垂直；
當(dāng)k=0時(shí)，兩條直線分別化為：x=0，y-2=0，此時(shí)兩條直線相互垂直．
綜上可得：兩條直線相互垂直．
∴|MP|²+|MQ|²=|PQ|²=8．
∴16=2（|MP|²+|MQ|²）≥（|MP|+|MQ|）²，
解得|MP|+|MQ|≤4，當(dāng)且僅當(dāng)|MP|=|MQ|=2時(shí)取得等號(hào)．
則|MP|+|MQ|的最大值是4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線系的應(yīng)用、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．