已知集合Sn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn是正整數(shù)1,2,3,…,n的一個排列}(n≥2),函數(shù)
對于(a1,a2,…an)∈Sn,定義:bi=g(ai-a1)+g(ai-a2)+…+g(ai-ai-1),i∈{2,3,…,n},b1=0,稱bi為ai的滿意指數(shù).排列b1,b2,…,bn為排列a1,a2,…,an的生成列;排列a1,a2,…,an為排列b1,b2,…,bn的母列.
(Ⅰ)當n=6時,寫出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,-1,2,-3,4,3的母列;
(Ⅱ)證明:若a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n為Sn中兩個不同排列,則它們的生成列也不同;
(Ⅲ)對于Sn中的排列a1,a2,…,an,定義變換τ:將排列a1,a2,…,an從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項,其它各項順序不變,得到一個新的排列.證明:一定可以經(jīng)過有限次變換τ將排列a1,a2,…,an變換為各項滿意指數(shù)均為非負數(shù)的排列.
【答案】分析:(Ⅰ)由bi=g(ai-a1)+g(ai-a2)+…+g(ai-ai-1),g(x)=及“生成列”與“母列”的定義可求得當n=6時排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,-1,2,-3,4,3的母列;
(Ⅱ)設a1,a2,…,an的生成列是b1,b2,…,bn;a′1,a′2,…,a′n的生成列是與b′1,b′2,…,b′n,從右往左數(shù),設排列a1,a2,…,an與a′1,a′2,…,a′n第一個不同的項為ak與a′k,由滿意指數(shù)的定義可知ai的滿意指數(shù),從而可證得且ak≠a′k,于是可得排列a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n的生成列也不同.
(Ⅲ)設排列a1,a2,…,an的生成列為b1,b2,…,bn,且ak為a1,a2,…,an中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項,⇒b1≥0,b2≥0,…,bk-1≥0,bk≤-1,經(jīng)過一次變換τ后,整個排列的各項滿意指數(shù)之和將至少增加2,利用ai的滿意指數(shù)bi≤i-1,可知整個排列的各項滿意指數(shù)之和不超過1+2+3+…+(n-1)=,從而可使結(jié)論得證.
解答:(Ⅰ)解:當n=6時,排列3,5,1,4,6,2的生成列為0,1,-2,1,4,-3;
排列0,-1,2,-3,4,3的母列為3,2,4,1,6,5.
(Ⅱ)證明:設a1,a2,…,an的生成列是b1,b2,…,bn;a′1,a′2,…,a′n的生成列是與b′1,b′2,…,b′n,
從右往左數(shù),設排列a1,a2,…,an與a′1,a′2,…,a′n第一個不同的項為ak與a′k,即:an=a′n,an-1=a′n-1,…,ak+1=a′k+1,ak≠a′k
顯然 bn=b′n,bn-1=b′n-1,…,bk+1=b′k+1,下面證明:bk≠b′k
由滿意指數(shù)的定義知,ai的滿意指數(shù)為排列a1,a2,…,an中前i-1項中比ai小的項的個數(shù)減去比ai大的項的個數(shù).
由于排列a1,a2,…,an的前k項各不相同,設這k項中有l(wèi)項比ak小,則有k-l-1項比ak大,從而bk=l-(k-l-1)=2l-k+1.
同理,設排列a′1,a′2,…,a′n中有l(wèi)′項比a′k小,則有k-l′-1項比a′k大,從而b′k=2l′-k+1.
因為 a1,a2,…,ak與a′1,a′2,…,a′k是k個不同數(shù)的兩個不同排列,且ak≠a′k,
所以 l≠l′,從而 bk≠b′k
所以排列a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n的生成列也不同.
(Ⅲ)證明:設排列a1,a2,…,an的生成列為b1,b2,…,bn,且ak為a1,a2,…,an中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項,所以 b1≥0,b2≥0,…,bk-1≥0,bk≤-1.
進行一次變換τ后,排列a1,a2,…,an變換為ak,a1,a2,…ak-1,ak+1,…,an,設該排列的生成列為b′1,b′2,…,b′n
所以 (b′1,b′2,…,b′n)-(b1+b2+…+bn)=[g(a1-ak)+g(a2-ak)+…+g(ak-1-ak)]-[g(ak-a1)+g(ak-a2)+…+g(ak-ak-1)]=-2[g(ak-a1)+g(ak-a2)+…+g(ak-ak-1)]=-2bk≥2.
因此,經(jīng)過一次變換τ后,整個排列的各項滿意指數(shù)之和將至少增加2.
因為ai的滿意指數(shù)bi≤i-1,其中i=1,2,3,…,n,
所以,整個排列的各項滿意指數(shù)之和不超過1+2+3+…+(n-1)=,
即整個排列的各項滿意指數(shù)之和為有限數(shù),
所以經(jīng)過有限次變換τ后,一定會使各項的滿意指數(shù)均為非負數(shù).
點評:本題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,理解題意及“生成列”、“母列”、“滿意指數(shù)”及運算法則是關(guān)鍵,也是難點,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),x1∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)對于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn,定義A與B的差為A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…|an-bn|);
A與B之間的距離為d(A,B)=
i-1
 |a1-b1|

(Ⅰ)當n=5時,設A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,1,0,0),求d(A,B);
(Ⅱ)證明:?A,B,C∈Sn,有A-B∈Sn,且d(A-C,B-C)=d(A,B);
(Ⅲ)證明:?A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)對于A=(a1,a2,…an,),B=(b1,b2,…bn,)∈Sn,定義A與B的差為A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…|an-bn|);
A與B之間的距離為d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)證明:?A,B,C∈Sn,有A-B∈Sn,且d(A-C,B-C)=d(A,B);
(Ⅱ)證明:?A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)
(Ⅲ)設P⊆Sn,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為
.
d
(P)

證明:
.
d
(P)
mn
2(m-1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).對于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義
AB
=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)
;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)當n=5時,設A=(1,2,1,2,a5),B=(2,4,2,1,3).若d(A,B)=7,求a5
(Ⅱ)(。┳C明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
AB
BC
,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(ⅱ)設A,B,C∈Sn,且d(A,B)+d(B,C)=d(A,C).是否一定?λ>0,使
AB
BC
?說明理由;
(Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈Sn.若A,B∈Sn,且d(I,A)=d(I,B)=p,求d(A,B)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)已知集合Sn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn是正整數(shù)1,2,3,…,n的一個排列}(n≥2),函數(shù)g(x)=
1, x>0
-1,  x<0.

對于(a1,a2,…an)∈Sn,定義:bi=g(ai-a1)+g(ai-a2)+…+g(ai-ai-1),i∈{2,3,…,n},b1=0,稱bi為ai的滿意指數(shù).排列b1,b2,…,bn為排列a1,a2,…,an的生成列.
(Ⅰ)當n=6時,寫出排列3,5,1,4,6,2的生成列;
(Ⅱ)證明:若a1,a2,…,an和a'1,a'2,…,a'n為Sn中兩個不同排列,則它們的生成列也不同;
(Ⅲ)對于Sn中的排列a1,a2,…,an,進行如下操作:將排列a1,a2,…,an從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項,其它各項順序不變,得到一個新的排列.證明:新的排列的各項滿意指數(shù)之和比原排列的各項滿意指數(shù)之和至少增加2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•西城區(qū)一模)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xiN*,i=1,2,…,n} (n≥2).對于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義
AB
=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)
;λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)(λ∈R);A與B之間的距離為d(A,B)=
n
i=1
|ai-bi|

(Ⅰ)當n=5時,設A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B);
(Ⅱ)證明:若A,B,C∈Sn,且?λ>0,使
AB
BC
,則d(A,B)+d(B,C)=d(A,C);
(Ⅲ)記I=(1,1,…,1)∈S20.若A,B∈S20,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的最大值.

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