(2013•西城區(qū)二模)已知集合Sn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn是正整數(shù)1,2,3,…,n的一個(gè)排列}(n≥2),函數(shù)g(x)=
1, x>0
-1,  x<0.

對(duì)于(a1,a2,…an)∈Sn,定義:bi=g(ai-a1)+g(ai-a2)+…+g(ai-ai-1),i∈{2,3,…,n},b1=0,稱bi為ai的滿意指數(shù).排列b1,b2,…,bn為排列a1,a2,…,an的生成列.
(Ⅰ)當(dāng)n=6時(shí),寫(xiě)出排列3,5,1,4,6,2的生成列;
(Ⅱ)證明:若a1,a2,…,an和a'1,a'2,…,a'n為Sn中兩個(gè)不同排列,則它們的生成列也不同;
(Ⅲ)對(duì)于Sn中的排列a1,a2,…,an,進(jìn)行如下操作:將排列a1,a2,…,an從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng),其它各項(xiàng)順序不變,得到一個(gè)新的排列.證明:新的排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加2.
分析:(Ⅰ)根據(jù)定義直接可求出n=6時(shí)的生成列
(Ⅱ)證明:設(shè)a1,a2,…,an的生成列是b1,b2,…,bn;a'1,a'2,…,a'n的生成列是與b'1,b'2,…,b'n.從右往左數(shù),設(shè)排列a1,a2,…,an與a'1,a'2,…,a'n第一個(gè)不同的項(xiàng)為ak與a'k,則通過(guò)比較可知ak≠a'k,只要證明:bk≠b'k.即可
(Ⅲ)先設(shè)排列a1,a2,…,an的生成列為b1,b2,…,bn,且ak為a1,a2,…,an中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng),則可得b1≥0,b2≥0,…,bk-1≥0,bk≤-1.然后進(jìn)行操作,排列a1,a2,…,an變?yōu)榕帕衋k,a1,a2,…ak-1,ak+1,…,an,設(shè)該排列的生成列為b'1,b'2,…,b'n,可證
解答:(Ⅰ)解:當(dāng)n=6時(shí),排列3,5,1,4,6,2的生成列為0,1,-2,1,4,3.
(Ⅱ)證明:設(shè)a1,a2,…,an的生成列是b1,b2,…,bn;a'1,a'2,…,a'n的生成列是與b'1,b'2,…,b'n
從右往左數(shù),設(shè)排列a1,a2,…,an與a'1,a'2,…,a'n第一個(gè)不同的項(xiàng)為ak與a'k,
即:an=a'n,an-1=a'n-1,…,ak+1=a'k+1,ak≠a'k
顯然 bn=b'n,bn-1=b'n-1,…,bk+1=b'k+1,下面證明:bk≠b'k
由滿意指數(shù)的定義知,ai的滿意指數(shù)為排列a1,a2,…,an中前i-1項(xiàng)中比ai小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比ai大的項(xiàng)的個(gè)數(shù).
由于排列a1,a2,…,an的前k項(xiàng)各不相同,設(shè)這k項(xiàng)中有l(wèi)項(xiàng)比ak小,則有k-l-1項(xiàng)比ak大,
而bk=l-(k-l-1)=2l-k+1.
同理,設(shè)排列a'1,a'2,…,a'n中有l(wèi)'項(xiàng)比a'k小,則有k-l'-1項(xiàng)比a'k大,從而b'k=2l'-k+1.
因?yàn)?nbsp;a1,a2,…,ak與a'1,a'2,…,a'k是k個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列,且ak≠a'k,
所以 l≠l',從而 bk≠b'k
所以排列a1,a2,…,an和a'1,a'2,…,a'n的生成列也不同.
(Ⅲ)證明:設(shè)排列a1,a2,…,an的生成列為b1,b2,…,bn,且ak為a1,a2,…,an中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng),所以 b1≥0,b2≥0,…,bk-1≥0,bk≤-1.
依題意進(jìn)行操作,排列a1,a2,…,an變?yōu)榕帕衋k,a1,a2,…ak-1,ak+1,…,an,
設(shè)該排列的生成列為b'1,b'2,…,b'n.                                                
所以 (b'1+b'2+…+b'n)-(b1+b2+…+bn
=[g(a1-ak)+g(a2-ak)+…+g(ak-1-ak)]-[g(ak-a1)+g(ak-a2)+…+g(ak-ak-1)]
=-2[g(ak-a1)+g(ak-a2)+…+g(ak-ak-1)]=-2bk≥2.
所以,新排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和比原排列的各項(xiàng)滿意指數(shù)之和至少增加2.
點(diǎn)評(píng):本題以新定義為載體,主要考查了數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用及一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|.若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)已知命題p:函數(shù)y=(c-1)x+1在R上單調(diào)遞增;命題q:不等式x2-x+c≤0的解集是∅.若p且q為真命題,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是
(1,+∞)
(1,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
23
x3-2x2+(2-a)x+1
,其中a>0.
(Ⅰ)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•西城區(qū)二模)設(shè)全集U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},則?U(A∩B)等于(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案