Question

（2013•西城區(qū)二模）已知集合S_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n是正整數1，2，3，…，n的一個排列}（n≥2），函數g(x)=

1， x＞0 -1，  x＜0.

對于（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，定義：b_i=g（a_i-a₁）+g（a_i-a₂）+…+g（a_i-a_i-1），i∈{2，3，…，n}，b₁=0，稱b_i為a_i的滿意指數．排列b₁，b₂，…，b_n為排列a₁，a₂，…，a_n的生成列．
（Ⅰ）當n=6時，寫出排列3，5，1，4，6，2的生成列；
（Ⅱ）證明：若a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n為S_n中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于S_n中的排列a₁，a₂，…，a_n，進行如下操作：將排列a₁，a₂，…，a_n從左至右第一個滿意指數為負數的項調至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：新的排列的各項滿意指數之和比原排列的各項滿意指數之和至少增加2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據定義直接可求出n=6時的生成列
（Ⅱ）證明：設a₁，a₂，…，a_n的生成列是b₁，b₂，…，b_n；a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列是與b'₁，b'₂，…，b'_n．從右往左數，設排列a₁，a₂，…，a_n與a'₁，a'₂，…，a'_n第一個不同的項為a_k與a'_k，則通過比較可知a_k≠a'_k，只要證明：b_k≠b'_k．即可
（Ⅲ）先設排列a₁，a₂，…，a_n的生成列為b₁，b₂，…，b_n，且a_k為a₁，a₂，…，a_n中從左至右第一個滿意指數為負數的項，則可得b₁≥0，b₂≥0，…，b_k-1≥0，b_k≤-1．然后進行操作，排列a₁，a₂，…，a_n變?yōu)榕帕衋_k，a₁，a₂，…a_k-1，a_k+1，…，a_n，設該排列的生成列為b'₁，b'₂，…，b'_n，可證

解答：（Ⅰ）解：當n=6時，排列3，5，1，4，6，2的生成列為0，1，-2，1，4，3．
（Ⅱ）證明：設a₁，a₂，…，a_n的生成列是b₁，b₂，…，b_n；a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列是與b'₁，b'₂，…，b'_n．
從右往左數，設排列a₁，a₂，…，a_n與a'₁，a'₂，…，a'_n第一個不同的項為a_k與a'_k，
即：a_n=a'_n，a_n-1=a'_n-1，…，a_k+1=a'_k+1，a_k≠a'_k．
顯然 b_n=b'_n，b_n-1=b'_n-1，…，b_k+1=b'_k+1，下面證明：b_k≠b'_k．
由滿意指數的定義知，a_i的滿意指數為排列a₁，a₂，…，a_n中前i-1項中比a_i小的項的個數減去比a_i大的項的個數．
由于排列a₁，a₂，…，a_n的前k項各不相同，設這k項中有l(wèi)項比a_k小，則有k-l-1項比a_k大，
而b_k=l-（k-l-1）=2l-k+1．
同理，設排列a'₁，a'₂，…，a'_n中有l(wèi)'項比a'_k小，則有k-l'-1項比a'_k大，從而b'_k=2l'-k+1．
因為 a₁，a₂，…，a_k與a'₁，a'₂，…，a'_k是k個不同數的兩個不同排列，且a_k≠a'_k，
所以 l≠l'，從而 b_k≠b'_k．
所以排列a₁，a₂，…，a_n和a'₁，a'₂，…，a'_n的生成列也不同．
（Ⅲ）證明：設排列a₁，a₂，…，a_n的生成列為b₁，b₂，…，b_n，且a_k為a₁，a₂，…，a_n中從左至右第一個滿意指數為負數的項，所以 b₁≥0，b₂≥0，…，b_k-1≥0，b_k≤-1．
依題意進行操作，排列a₁，a₂，…，a_n變?yōu)榕帕衋_k，a₁，a₂，…a_k-1，a_k+1，…，a_n，
設該排列的生成列為b'₁，b'₂，…，b'_n．                                                
所以 （b'₁+b'₂+…+b'_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=[g（a₁-a_k）+g（a₂-a_k）+…+g（a_k-1-a_k）]-[g（a_k-a₁）+g（a_k-a₂）+…+g（a_k-a_k-1）]
=-2[g（a_k-a₁）+g（a_k-a₂）+…+g（a_k-a_k-1）]=-2b_k≥2．
所以，新排列的各項滿意指數之和比原排列的各項滿意指數之和至少增加2．

點評：本題以新定義為載體，主要考查了數列知識的綜合應用及一定的邏輯推理與運算的能力．