Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，∠DAB=60°，PA=AD=2，M是PC上的一動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積
（2）當M滿足什么條件時，平面MBD⊥平面PCD．證明你的結論．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）利用棱錐的體積公式，直接求解四棱錐P-ABCD的體積
（2）當M滿足滿足DM⊥PC時，平面MBD⊥平面PCD．證明BD⊥PC，利用直線與平面垂直的判定定理，證明結論即可．

解答： 解：（1）解：v=

1

3

sh=

1

3

×

3

4

×4×2×2=

4 3

3

（2）證明：當PC上的點M滿足DM⊥PC時，有PC⊥平面MBD，
證明如下：
連接AC與BD
底面ABCD各邊都相等∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥BD∴BD⊥面PAC∴BD⊥PC
當PC上的點M滿足DM⊥PC時
有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．

點評：本題考查棱錐的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．