Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形⇒EG∥AF，就可證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．把對(duì)應(yīng)各點(diǎn)坐標(biāo)求出來，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一個(gè)法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A-BE-D的大�。�
解答：解：證明：（I）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，
因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG．
因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因?yàn)檎�方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（，，1）．
所以=（，，1），=（0，-，1），=（-，0，1）．
所以•=0-1+1=0，•=-1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面ABE的法向量=（x，y，z），則•=0，•=0．
即
所以x=0，且z=y．令y=1，則z=．所以n=（），從而cos（，）=
因?yàn)槎�面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì)和線面平行的推導(dǎo)以及二面角的求法．在證明線面平行時(shí)，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．