Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

（3）若，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）通過對(duì)，求導(dǎo)可知,進(jìn)而再求導(dǎo)可知，通過令進(jìn)而可知，的極小值點(diǎn)為，從而，整理可知，結(jié)合 有極值可知有兩個(gè)不等的實(shí)根，進(jìn)而可知；（2）通過（1）

構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合，可知，從而可得結(jié)論；（3）通過（1）可知的極小值，利用韋達(dá)定理及完全平方關(guān)系可知的兩個(gè)極值之和為，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為解不等式，因式分解即得結(jié)論.

試題解析：（1）由，得，當(dāng)時(shí)，有極小值，的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，，又，故，有極值，故有實(shí)根，從而，即，當(dāng)時(shí)，，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，．

列表如下：

x
	+	0	–	0	+
		極大值		極小值

故的極值點(diǎn)是．從而．因此，定義域?yàn)?/span>．

（2）由（1）知，．設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，所以，故，即．因此．

（3）由（1）知，的極值點(diǎn)是，且，從而

，

記，所有極值之和為，

因?yàn)?/span>的極值為，所以，．

因?yàn)?/span>，于是在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>，于是，故．因此a的取值范圍為．