Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）請把f（x）解析式填寫完整f（x）=

x(2-x)(x≥0) ()(x＜0)

（1）畫出函數(shù)f（x）的簡圖；
（3）若g（x）=a，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），當(dāng)a在

 

范圍F（x）有且只有一個零點．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)x＜0可得-x＞0，則f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得f（x）=-f（-x），可求，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可作出f（x）的圖象
（II）由二次函數(shù)的圖象和函數(shù)的解析式畫出函數(shù)f（x）的簡圖；
（Ⅲ）F（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點，轉(zhuǎn)化為g（x）=a的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有且只有一個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，當(dāng)x≥0時，f（x）=x（2-x），
設(shè)x＜0可得-x＞0，則f（-x）=（-x）（2+x），
因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（x）=-f（-x）=x（2+x），
所以f(x)=

x(2-x)，(x≥0) x(2+x)，(x＜0)

；
（Ⅱ）由f(x)=

x(2-x)，(x≥0) x(2+x)，(x＜0)

畫出函數(shù)f（x）的簡圖：

（Ⅲ）F（x）=f（x）-g（x）有且只有一個零點，
則g（x）=a的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有且只有一個交點，
由上圖可得，a＞1或a＜-1．

點評：本題考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象，以及方程的根與函數(shù)的零點的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．