Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是（　�。�

• A、b＜-1或 b＞2
• B、b＞2
• C、-1＜b＜0
• D、不能確定

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)條件“對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x）成立”得到對(duì)稱軸，求出a，再研究函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，使最小值大于零即可．

解答： 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（1+x）成立
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1=

a

2

，解得a=2
∵函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=1，開口向下
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
而f（x）＞0恒成立，f（x）_min=f（-1）=b²-b-2＞0
解得b＜-1或b＞2，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題必須從開口方向，對(duì)稱軸，判別式及端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)4個(gè)角度進(jìn)行考慮．