Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2處取得極值，且函數y=f（x）的圖象經過點（1，0）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設A、B為函數y=f（x）圖象上任意相異的兩個點，試判定直線AB和直線4x+y-3=0的位置關系并說明理由；
（3）設函數g（x）=x²+mx+6，若對任意t∈[-2，2]且x∈[-2，2]，f（t）≤g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2處取得極值
∴
∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，從而f（x）=x³-3x²+2
（2）直線AB和直線4x+y-3=0總相交．
∵f'（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3≥-3，由導數的幾何意義可知，直線AB的斜率k≥-3，
而直線4x+y-3=0的斜率為-4，
所以兩條直線相交．
（3）∵f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]遞增，在（0，2）遞減，
∴f（x）在x=0處有最大值2，
所以命題轉化為g（x）≥2對x∈[-2，2]恒成立，即x²+mx+4≥0對x∈[-2，2]恒成立，
設h（x）=x²+mx+4則有
解得-4≤m≤4．
分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x），依題意f′（0）=0．f′（2）=0，f（1）=0，列方程即可解得a、b、c的值
（2）利用導數的幾何意義，可證明函數f（x）的圖象上任意兩點連線的斜率不可能為-4，即可說明兩直線間的位置關系
（3）先利用導數研究函數f（t）在[-2，-2]上的單調性，從而求得函數f（t）的最大值，將命題轉化為g（x）≥2對x∈[-2，2]恒成立，利用二次函數的圖象性質求得m的范圍
點評：本題綜合考查了導數在函數單調性、極值、最值中的重要應用，導數的幾何意義，不等式恒成立問題的解法