Question

（1）設(shè)不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，如果M⊆[1，4]，求實數(shù)a的取值范圍？
（2）解關(guān)于x的不等式

a(x-1)

x-2

＞1（a≠1）．

Answer 1

分析：（1）該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，已知M⊆[1，4]，首先分類討論①M=∅，得出△＜0，解出a的范圍；②M≠∅，此時△=0或△＞0，分三種情況計算a的取值范圍，然后綜合①②的情況求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）先通分為：

ax-x+2-a

x-2

＞0，因為方程（x-2）（ax-x+2-a）=0的兩根x=2與x=

a-2

a-1

，大小沒法比較，所以要分類討論，①a＞1；②a＜1，從而求出不等式的解．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）
∵M⊆[1，4]有兩種情況：
①M=∅，此時△＜0；
當△＜0時，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]；
②其二是M≠∅，此時△=0或△＞0，分三種情況計算a的取值范圍
當△=0時，a=-1或2；
當a=-1時M={-1}?[1，4]；
當a=2時，m={2}⊆[1，4]．
當△＞0時，a＜-1或a＞2．
設(shè)方程f（x）=0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，M⊆[1，4]
∴1≤x₁＜x₂≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即

-a+3≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 a＜-1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

，
綜上討論知，當M⊆[1，4]時，a的取值范圍是（-1，

18

7

]．

（2）原不等式可化為：

ax-x+2-a

x-2

＞0，
①當a＞1時，原不等式與（x-

a-2

a-1

）（x-2）＞0同解．
由于

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＜ 1＜2，
∴原不等式的解為（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）．
②當a＜1時，原不等式與（x-

a-2

a-1

）（x-2）＜0同解．
由于

a-2

a-1

=1-

1

a-1

，
若a＜0，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＜2，解集為（

a-2

a-1

，2）；
若a=0時，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

=2，解集為∅；
若0＜a＜1，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＞2，解集為（2，

a-2

a-1

，）．
綜上所述：當a＞1時解集為（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）；
當0＜a＜1時，解集為（2，

a-2

a-1

）；
當a=0時，解集為∅；當a＜0時，解集為（

a-2

a-1

，2）．

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法，運用了分類討論的思想，分類討論的問題比較多，從而加大了試題的難度．