在平面直角坐標系中,A點坐標為(1,1),B點與A點關于坐標原點對稱,過動點P作x軸的垂線,垂足為C點,而點D滿足2
PD
=
PC
,且有
PA
PB
=2
,
(1)求點D的軌跡方程;
(2)求△ABD面積的最大值;
(3)斜率為k的直線l被(1)中軌跡所截弦的中點為M,若∠AMB為直角,求k的取值范圍.
(1)設P(x',y'),得
PA
=(1-x',1-y'),
PB
=(-1-x',-1-y'),
所以
PA
PB
=(1-x')(-1-x')+(1-y')(-1-y')=(x')2+(y')2-2
PA
PB
=2
,
∴點P的軌跡方程為(x')2+(y')2-2=2,即(x')2+(y')2=4…(*)
再設D(x',y'),由2
PD
=
PC
得D為PC的中點
∴x=
1
2
(x′+1)
,y'=
1
2
y′

可得x'=2x-1,y'=2y.代入(*)式得(2x-1)2+(2y)2=4
化簡得點D的軌跡方程:(x-
1
2
2+y2=1
(2)設點D坐標為(
1
2
+cosα,sinα),
求得直線AB的方程為x-y=0,得D到直線AB的距離為
d=
|
1
2
+cosα-sinα|
2
=
|
1
2
+
2
cos(α+
π
4
)|
2

α=
4
時,d的最大值為1+
2
2
,
因此△ABD面積的最大值為
1
2
×AB×(1+
2
2
)=1+
2
;
(3)若∠AMB為直角,則點M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x2+y2=2,該圓與D的軌跡交于點M1
5
4
,
7
4
)和M2
5
4
,-
7
4

滿足條件的點M位于圓N:(x-
1
2
2+y2=1在x2+y2=2內的劣弧上
KNM1=
7
4
-0
5
4
-
1
2
=
7
3
,得此時切線l的斜率k1=
1
KNM1
=-
3
7
7

KNM2=
-
7
4
-0
5
4
-
1
2
=-
7
3
,得此時切線l的斜率k2=
1
KNM2
=
3
7
7

∴運動點M,觀察斜率變化,可得直線l的斜率為k∈(-∞,-
3
7
7
)∪(
3
7
7
,+∞)
練習冊系列答案
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對于方程
x2
2
+
y2
m-1
=1
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A.m>3時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓
B.m=3時,曲線C是圓
C.m<1時,曲線C是雙曲線
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3

(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)若直線l:y=kx+2與軌跡C交于A、B兩點,且
OA
OB
=0
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3
2

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A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x2

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