已知曲線C1：y=x2-2x+2和曲線C2：y=x3-3x2+x+5有一個公共點P（2，2），若兩曲線在點P處的切線的傾斜角分別是α和β，求tan和sin的值．
分析：利用曲線在切點處的導數(shù)值為曲線的切線斜率，根據(jù)傾斜角的正切值為斜率求出tanα，tanβ，利用三角函數(shù)的誘導公式求出α+β
解答：解：∵y=x2-2x+2，∴y′=2x-2，∴tanα=2×2-2=2，
又∵y=x3-3x2+
1
2
x+5，∴y′=3x2-6x+
1
2
，∴tanβ=3×22-6×2+
1
2
=
1
2
，
∴tanαtanβ=1，即tanβ=cotα，由0＜α、β＜
π
2
得β=
π
2
-α，
∴α+β=＜
π
2
，tan
α+β
2
=1且sin
α+β
3
=sin
π
3
=
1
2
．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、直線傾斜角的正切值為斜率、三角函數(shù)的誘導公式．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C1：y=x3（x≥0）與曲線C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直線x=
1
3
與曲線C1，C2分別交于B，D．則四邊形ABOD的面積S為（　�。�
A、
4
9
B、
3
C、2
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：y=
1
3
x3-3x+
4
3
，曲線C2：y=x2-
9
2
x+m，若當x∈[-2，2]時，曲線C1在曲線C2的下方，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線c1：y=ex，曲線c2：y=cosx，則由曲線c1，c2和直線x=
π
2
在第一象限所圍成的封閉圖形的面積為
e
π
2
-2
e
π
2
-2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-4：矩陣與變換
已知曲線C1：y=
1
x
繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到曲線C2：y2-x2=2，
（I）求由曲線C1變換到曲線C2對應的矩陣M1；    
（II）若矩陣M2=
20
03
，求曲線C1依次經(jīng)過矩陣M1，M2對應的變換T1，T2變換后得到的曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在曲線C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．
（3）（選修4-5：不等式選講）
將12cm長的細鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，
（I）求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；
（II）若這三條線段分別圍成三個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：y=x2-1與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，圓C2經(jīng)過A，B，C三點．
（1）求圓C2的方程；
（2）過點P（0，m）（m＜-1）的直線l與圓C2相切，試探討直線l與曲線C1的位置關(guān)系．

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