Question

18．已知點(diǎn)A（1，-2，2），B（2，-2，-1），C（6，5，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三棱錐O-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{65}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{65}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{65}}{6}$
• D． $\frac{65}{6}$

Answer 1

分析 使用向量求出△ABC的面積，O到平面ABC的距離，代入體積公式計(jì)算．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=（1，0，-3），$\overrightarrow{AC}$=（5，7，0），∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=5．|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{74}$．
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{5}{\sqrt{740}}$．∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{715}}{\sqrt{740}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{715}}{2}$．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$（x，y，z），則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3z=0}\\{5x+7y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\frac{15}{7}$，1）．∴|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{715}}{7}$．
$\overrightarrow{OA}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}$=$\frac{65}{7}$．
∴點(diǎn)O到平面ABC的距離d=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{65}{\sqrt{715}}$．
∴V=$\frac{1}{3}$•S_△BCD•d=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{715}}{2}$×$\frac{65}{\sqrt{715}}$=$\frac{65}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量在立體幾何中的應(yīng)用，求出棱錐的高是關(guān)鍵，屬于中檔題．